取决于我们在哪个空间讨论，有解的Ｅ值也一样由空间决定。这给我们提供了一个非常不同的方式去看待几何。你给我一个流形，告诉我它的形状及曲率（更确切的说，是拓扑和度规）。用这些信息，我来解薛定谔方程并给回你一列Ｅ 值。这一系列 E 值叫做拉普拉斯算子谱，其内包含流形的绝大部分信息。这种思维方式叫做谱几何（spectral geometry）。
谱几何还有一个更接地气的版本。数学家 Mark Kac 曾在《我们能否听到鼓的形状？》一文中提到此版本而让它闻名于世。鼓震动的频率也是遵循薛定谔方程的，只不过此时要满足一个特殊的边界条件：由鼓的边缘形状而定。现在的问题是：如果你已知所有的频率，你能反推出鼓的形状吗？答案是不能，但是你可以由此得到很多鼓的形状的相关信息。相似的，在几何学中大家都知道谱的信息未必足以推测出背后的流形的所有信息。然而，谱几何仍是一个内容丰富的学科，谱中以非常有趣的形式嵌含了流形的各种不同属性。
为了帮助我们更好的理解谱几何，我们一起来看一个非常简单的流形的例子：圆。让我们用维度ｘ标记沿圆周的位置。假设圆的半径为Ｒ，我们可知 x ≡ x 2πR 在此例中，薛定谔方程非常简单，即
让我们回到圆的例子中。现在弦可以做两件不同的事情。第一，弦可以形成一个小圈然后绕着圆运动。因为，从远处看来，这个弦圈就是一个粒子，显然此弦圈的能量谱应该跟粒子的能量谱一样，即：。但是弦还可以做一些粒子做不到的事情：它可以拉伸自己。你可把弦想象成一条橡皮筋；拉伸需要能量，而如果一条弦绕着圆绕了 m 圈，它将会拥有的能量 。这说明绕圆运动的弦的能量谱包含了两个数字塔：
这儿有一件非常有意思的事。如果我们把 R 和 1/2πR 互相代换（如下面式子所示），这一系列能量谱将会保持不变。
这说明，如果你得到的只是一个能量谱，你根本无法判断这个流形圆是一个半径为 R 的大圆还是一个半径为 1/2πR 的小圆。从弦的视角来看，这两个圆看起来一模一样！当然，我们此处只是讨论了弦的能量谱，但其实弦的所有属性都是可以遵循上面式子中的交换而保持不变的。弦真的是不能区分大圆和小圆的。这是一个美丽的事实，它的名字却非常朴实无华：T 对偶（T-duality）。
